\[\left\{ \begin{array}{l}2x_{1}-x_{3}+3x_{4}-x_{5}=0,\\x_{1}+x_{2}-x_{4}+x_{5}=0,\\-2x_{2}+x_{3}+5x_{4}-3x_{5}=0,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}+9x_{4}-5x_{5}=0 \end{array} \right.\]

Решаем систему однородных уравнений методом Гаусса

Приводим основную матрицу системы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями

Прямой ход

\[\left(\begin{array}{}2 & 0 & -1 & 3 & -1\\1 & 1 & 0 & -1 & 1\\0 & -2 & 1 & 5 & -3\\1 & -3 & 2 & 9 & -5\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & -2 & 1 & 5 & -3\\0 & -3 & \frac{5}{2} & \frac{15}{2} & - \frac{9}{2}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 & 0\end{array}\right)\Rightarrow \]

\[\Rightarrow \left(\begin{array}{}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]

Система неопределна.

Решение системы

\[\left\{ \begin{array}{l}x_{1} - \frac{x_{3}}{2} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0\\ x_{2} + \frac{x_{3}}{2} - \frac{5 x_{4}}{2} + \frac{3 x_{5}}{2}=0\\ x_{3}=0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}- \frac{0}{2} + x_{1} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0,\\\frac{0}{2} + x_{2} - \frac{5 x_{4}}{2} + \frac{3 x_{5}}{2}=0,\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0,\\x_{2}=\frac{5 x_{4}}{2} - \frac{3 x_{5}}{2},\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1}=- \frac{3 x_{4}}{2} + \frac{x_{5}}{2},\\x_{2}=\frac{5 x_{4}}{2} - \frac{3 x_{5}}{2},\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.\]

Представим решение системы в матричном виде:

\[\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}- \frac{3}{2}\\\frac{5}{2}\\0\\0\\1\end{matrix}\right) \cdot x_{4}+\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\- \frac{3}{2}\\0\\0\\0\end{matrix}\right) \cdot x_{5}\]

Фундаментальная система решений (ФСР)

\[\left(\begin{matrix}- \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)^T, \left(\begin{matrix}\frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)^T\]

$\left\{ \begin{array}{l}2x_{1}-x_{3}+3x_{4}-x_{5}=0,\\x_{1}+x_{2}-x_{4}+x_{5}=0,\\-2x_{2}+x_{3}+5x_{4}-3x_{5}=0,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}+9x_{4}-5x_{5}=0 \end{array} \right.$ \newline \textbf{Решаем систему однородных уравнений методом Гаусса} \newline Приводим основную матрицу системы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями \newline Прямой ход \newline $\left(\begin{array}{*{20}{c}}2 & 0 & -1 & 3 & -1\\1 & 1 & 0 & -1 & 1\\0 & -2 & 1 & 5 & -3\\1 & -3 & 2 & 9 & -5\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & -2 & 1 & 5 & -3\\0 & -3 & \frac{5}{2} & \frac{15}{2} & - \frac{9}{2}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 & 0\end{array}\right)\Rightarrow $ \newline $\Rightarrow \left(\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ \newline Система неопределна. \newline Решение системы \newline $\left\{ \begin{array}{l}x_{1} - \frac{x_{3}}{2} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0\\ x_{2} + \frac{x_{3}}{2} - \frac{5 x_{4}}{2} + \frac{3 x_{5}}{2}=0\\ x_{3}=0\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}- \frac{0}{2} + x_{1} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0,\\\frac{0}{2} + x_{2} - \frac{5 x_{4}}{2} + \frac{3 x_{5}}{2}=0,\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1} + \frac{3 x_{4}}{2} - \frac{x_{5}}{2}=0,\\x_{2}=\frac{5 x_{4}}{2} - \frac{3 x_{5}}{2},\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1}=- \frac{3 x_{4}}{2} + \frac{x_{5}}{2},\\x_{2}=\frac{5 x_{4}}{2} - \frac{3 x_{5}}{2},\\x_{3}=0,\\ \end{array} \right.$ \newline Представим решение системы в матричном виде: \newline $\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}- \frac{3}{2}\\\frac{5}{2}\\0\\0\\1\end{matrix}\right) \cdot x_{4}+\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\- \frac{3}{2}\\0\\0\\0\end{matrix}\right) \cdot x_{5}$ \newline Фундаментальная система решений (ФСР) \newline $\left(\begin{matrix}- \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)^T, \left(\begin{matrix}\frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)^T$