\[\left\{ \begin{array}{l}4x+5y+2z=1,\\3x-3y+2z=2,\\2x-3y+z=3 \end{array} \right.\]

Решаем систему неоднородных уравнений методом Гаусса

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями

Прямой ход

\[\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 5 & 2 & 1\\3 & -3 & 2 & 2\\2 & -3 & 1 & 3\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & - \frac{9}{4} & \frac{1}{6} & \frac{5}{12}\\0 & - \frac{11}{4} & 0 & \frac{5}{4}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & \frac{2}{27} & - \frac{80}{297}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\]

Обратный ход

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & 0 & \frac{91}{44}\\0 & 1 & 0 & - \frac{5}{11}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & \frac{29}{11}\\0 & 1 & 0 & - \frac{5}{11}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\]

Решение системы

\[\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)\]

Решаем систему методом Крамера

Определитель основной матрицы

\[\Delta=\left| {\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2+5 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2-3 \cdot 5 \cdot 1-4 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=11\]

Определители побочных матриц (полученных заменой k-го столбца основной матрицы на столбец свободных членов)

\[\Delta_{1}=\left| {\begin{matrix}1 & 5 & 2\\2 & -3 & 2\\3 & -3 & 1\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2+5 \cdot 2 \cdot 3-3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2-2 \cdot 5 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=29\]

\[\Delta_{2}=\left| {\begin{matrix}4 & 1 & 2\\3 & 2 & 2\\2 & 3 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot 2 \cdot 1+3 \cdot 3 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-4 \cdot 2 \cdot 3=-5\]

\[\Delta_{3}=\left| {\begin{matrix}4 & 5 & 1\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 3\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right) \cdot 3+3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+5 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1-3 \cdot 5 \cdot 3-4 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=-40\]

Решение

\[x=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{29}{11}=\frac{29}{11}\]

\[y=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-5}{11}=- \frac{5}{11}\]

\[z=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-40}{11}=- \frac{40}{11}\]

Решаем систему методом обратной матрицы

Решаем матричное уравнение вида \(AX=B\)

\[\left(\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right)X=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\]

Домножаем на \(A^{-1}\) слева

\[A^{-1}AX=A^{-1}B\]

\[EX=A^{-1}B\]

\[X=A^{-1}B\]

Найдём обратную матрицу \(A^{-1}\) методом алгебраических дополнений. Она равна:

\(A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(A^*\right)^T\), где \(A^*\) — союзная матрица, матрица, составленная из алгебраических дополнений

Определитель

\[\left| {A} \right|=11\]

Алгебраические дополнения \(A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j} \cdot M_{ij}\), где \(M_{ij}\) — минор.

\[A_{11}=\left| {\begin{matrix}-3 & 2\\-3 & 1\end{matrix}} \right|=-3 \cdot 1-\left( -3 \right) \cdot 2=3;A_{12}=-\left| {\begin{matrix}3 & 2\\2 & 1\end{matrix}} \right|=-\left(3 \cdot 1-2 \cdot 2\right)=1;A_{13}=\left| {\begin{matrix}3 & -3\\2 & -3\end{matrix}} \right|=3 \cdot \left( -3 \right)-2 \cdot \left( -3 \right)=-3;\]

\[A_{21}=-\left| {\begin{matrix}5 & 2\\-3 & 1\end{matrix}} \right|=-\left(5 \cdot 1-\left( -3 \right) \cdot 2\right)=-11;A_{22}=\left| {\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot 1-2 \cdot 2=0;A_{23}=-\left| {\begin{matrix}4 & 5\\2 & -3\end{matrix}} \right|=-\left(4 \cdot \left( -3 \right)-2 \cdot 5\right)=22;\]

\[A_{31}=\left| {\begin{matrix}5 & 2\\-3 & 2\end{matrix}} \right|=5 \cdot 2-\left( -3 \right) \cdot 2=16;A_{32}=-\left| {\begin{matrix}4 & 2\\3 & 2\end{matrix}} \right|=-\left(4 \cdot 2-3 \cdot 2\right)=-2;A_{33}=\left| {\begin{matrix}4 & 5\\3 & -3\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right)-3 \cdot 5=-27;\]

Таким образом, матрица из алгебраических дополнений

\[A^*=\left(\begin{matrix}3 & 1 & -3\\-11 & 0 & 22\\16 & -2 & -27\end{matrix}\right)\]

Транспонируем её

\[\left(A^*\right)^T=\left(\begin{matrix}3 & -11 & 16\\1 & 0 & -2\\-3 & 22 & -27\end{matrix}\right)\]

Обратная матрица равна

\[A^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{matrix}3 & -11 & 16\\1 & 0 & -2\\-3 & 22 & -27\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} & -1 & \frac{16}{11}\\\frac{1}{11} & 0 & - \frac{2}{11}\\- \frac{3}{11} & 2 & - \frac{27}{11}\end{matrix}\right)\]

Решение уравнения

\[X=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} & -1 & \frac{16}{11}\\\frac{1}{11} & 0 & - \frac{2}{11}\\- \frac{3}{11} & 2 & - \frac{27}{11}\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} \cdot 1-1 \cdot 2+\frac{16}{11} \cdot 3\\\frac{1}{11} \cdot 1+0 \cdot 2- \frac{2}{11} \cdot 3\\- \frac{3}{11} \cdot 1+2 \cdot 2- \frac{27}{11} \cdot 3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)\]

Проверка

\[AX=\left(\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4 \cdot \frac{29}{11}+5 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+2 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\\3 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+2 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\\2 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+1 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)=B\]

Проверка

\[\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \frac{29}{11}+5 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)+2 \cdot \left({- \frac{40}{11}}\right)=1,\\3 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)+2 \cdot \left({- \frac{40}{11}}\right)=2,\\2 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)- \frac{40}{11}=3 \end{array} \right.\]

Это тождества. Проверка выполнена.

$\left\{ \begin{array}{l}4x+5y+2z=1,\\3x-3y+2z=2,\\2x-3y+z=3 \end{array} \right.$ \newline \textbf{Решаем систему неоднородных уравнений методом Гаусса} \newline Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями \newline Прямой ход \newline $\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 5 & 2 & 1\\3 & -3 & 2 & 2\\2 & -3 & 1 & 3\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & - \frac{9}{4} & \frac{1}{6} & \frac{5}{12}\\0 & - \frac{11}{4} & 0 & \frac{5}{4}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & \frac{2}{27} & - \frac{80}{297}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)$ \newline Обратный ход \newline $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\0 & 1 & - \frac{2}{27} & - \frac{5}{27}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & \frac{5}{4} & 0 & \frac{91}{44}\\0 & 1 & 0 & - \frac{5}{11}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & \frac{29}{11}\\0 & 1 & 0 & - \frac{5}{11}\\0 & 0 & 1 & - \frac{40}{11}\end{array}\right)$ \newline Решение системы \newline $\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)$ \newline \textbf{Решаем систему методом Крамера} \newline Определитель основной матрицы \newline $\Delta=\left| {\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2+5 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2-3 \cdot 5 \cdot 1-4 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=11$ \newline Определители побочных матриц (полученных заменой k-го столбца основной матрицы на столбец свободных членов) \newline $\Delta_{1}=\left| {\begin{matrix}1 & 5 & 2\\2 & -3 & 2\\3 & -3 & 1\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2+5 \cdot 2 \cdot 3-3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 2-2 \cdot 5 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=29$ \newline $\Delta_{2}=\left| {\begin{matrix}4 & 1 & 2\\3 & 2 & 2\\2 & 3 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot 2 \cdot 1+3 \cdot 3 \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-4 \cdot 2 \cdot 3=-5$ \newline $\Delta_{3}=\left| {\begin{matrix}4 & 5 & 1\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 3\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right) \cdot 3+3 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1+5 \cdot 2 \cdot 2-2 \cdot \left( -3 \right) \cdot 1-3 \cdot 5 \cdot 3-4 \cdot 2 \cdot \left( -3 \right)=-40$ \newline Решение \newline $x=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{29}{11}=\frac{29}{11}$ \newline $y=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-5}{11}=- \frac{5}{11}$ \newline $z=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-40}{11}=- \frac{40}{11}$ \newline \textbf{Решаем систему методом обратной матрицы} \newline Решаем матричное уравнение вида $AX=B$ \newline $\left(\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right)X=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)$ \newline Домножаем на $A^{-1}$ слева \newline $A^{-1}AX=A^{-1}B$ \newline $EX=A^{-1}B$ \newline $X=A^{-1}B$ \newline Найдём обратную матрицу $A^{-1}$ методом алгебраических дополнений. Она равна: \newline $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(A^*\right)^T$, где $A^*$ — союзная матрица, матрица, составленная из алгебраических дополнений \newline Определитель \newline $\left| {A} \right|=11$ \newline Алгебраические дополнения $A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j} \cdot M_{ij}$, где $M_{ij}$ — минор. \newline $A_{11}=\left| {\begin{matrix}-3 & 2\\-3 & 1\end{matrix}} \right|=-3 \cdot 1-\left( -3 \right) \cdot 2=3;A_{12}=-\left| {\begin{matrix}3 & 2\\2 & 1\end{matrix}} \right|=-\left(3 \cdot 1-2 \cdot 2\right)=1;A_{13}=\left| {\begin{matrix}3 & -3\\2 & -3\end{matrix}} \right|=3 \cdot \left( -3 \right)-2 \cdot \left( -3 \right)=-3;$ \newline $A_{21}=-\left| {\begin{matrix}5 & 2\\-3 & 1\end{matrix}} \right|=-\left(5 \cdot 1-\left( -3 \right) \cdot 2\right)=-11;A_{22}=\left| {\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}} \right|=4 \cdot 1-2 \cdot 2=0;A_{23}=-\left| {\begin{matrix}4 & 5\\2 & -3\end{matrix}} \right|=-\left(4 \cdot \left( -3 \right)-2 \cdot 5\right)=22;$ \newline $A_{31}=\left| {\begin{matrix}5 & 2\\-3 & 2\end{matrix}} \right|=5 \cdot 2-\left( -3 \right) \cdot 2=16;A_{32}=-\left| {\begin{matrix}4 & 2\\3 & 2\end{matrix}} \right|=-\left(4 \cdot 2-3 \cdot 2\right)=-2;A_{33}=\left| {\begin{matrix}4 & 5\\3 & -3\end{matrix}} \right|=4 \cdot \left( -3 \right)-3 \cdot 5=-27;$ \newline Таким образом, матрица из алгебраических дополнений \newline $A^*=\left(\begin{matrix}3 & 1 & -3\\-11 & 0 & 22\\16 & -2 & -27\end{matrix}\right)$ \newline Транспонируем её \newline $\left(A^*\right)^T=\left(\begin{matrix}3 & -11 & 16\\1 & 0 & -2\\-3 & 22 & -27\end{matrix}\right)$ \newline Обратная матрица равна \newline $A^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{matrix}3 & -11 & 16\\1 & 0 & -2\\-3 & 22 & -27\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} & -1 & \frac{16}{11}\\\frac{1}{11} & 0 & - \frac{2}{11}\\- \frac{3}{11} & 2 & - \frac{27}{11}\end{matrix}\right)$ \newline Решение уравнения \newline $X=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} & -1 & \frac{16}{11}\\\frac{1}{11} & 0 & - \frac{2}{11}\\- \frac{3}{11} & 2 & - \frac{27}{11}\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11} \cdot 1-1 \cdot 2+\frac{16}{11} \cdot 3\\\frac{1}{11} \cdot 1+0 \cdot 2- \frac{2}{11} \cdot 3\\- \frac{3}{11} \cdot 1+2 \cdot 2- \frac{27}{11} \cdot 3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)$ \newline Проверка \newline $AX=\left(\begin{matrix}4 & 5 & 2\\3 & -3 & 2\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}\frac{29}{11}\\- \frac{5}{11}\\- \frac{40}{11}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4 \cdot \frac{29}{11}+5 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+2 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\\3 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+2 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\\2 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left( - \frac{5}{11} \right)+1 \cdot \left( - \frac{40}{11} \right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)=B$ \newline \textbf{Проверка} \newline $\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \frac{29}{11}+5 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)+2 \cdot \left({- \frac{40}{11}}\right)=1,\\3 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)+2 \cdot \left({- \frac{40}{11}}\right)=2,\\2 \cdot \frac{29}{11}-3 \cdot \left({- \frac{5}{11}}\right)- \frac{40}{11}=3 \end{array} \right.$ \newline Это тождества. Проверка выполнена. \newline