\[\left\{ \begin{array}{l}x+y-z=-1,\\3x-3y-13z=-1,\\x-3y-9z=2 \end{array} \right.\]

Решаем систему методом LU-разложения.

Решаем систему \(AX=B\).

\[A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\3 & -3 & -13\\1 & -3 & -9\end{matrix}\right)\]

Разложим матрицу A на произведение двух матриц A=LU, где L - нижнетреугольная матрица, а U-верхнетреугольная.

Используем компактную схему Краута

\[{u_{ij}} = {a_{ij}} - \sum\limits_{k = 1}^i {{l_{ik}}} \cdot {u_{kj}}; \qquad {l_{ij}} = \frac{a_{ij}- \sum\limits_{k = 1}^{j-1} {{l_{ik}}} \cdot {u_{kj}}}{u_{jj}}\]

Вычисляем по этим формулам

\[{u_{11}} = a_{11}=1; \qquad {u_{12}} = a_{12}=1; \qquad {u_{13}} = a_{13}=-1; \qquad \]

\[{l_{11}} = a_{11}=1; \qquad {l_{21}} = a_{21}=3; \qquad {l_{31}} = a_{31}=1; \qquad \]

\[{u_{22}} = a_{22}-{l_{21}} \cdot {u_{12}}=-3-3 \cdot 1=-6; \qquad \]

\[{u_{23}} = a_{23}-{l_{21}} \cdot {u_{12}}=-13-3 \cdot \left( -1 \right)=-10; \qquad \]

\[{l_{22}} = \frac{a_{22}- {l_{21}} \cdot {u_{12}}}{u_{22}}=\frac{-3-3 \cdot 1}{-6}=1; \qquad \]

\[{l_{32}} = \frac{a_{32}- {l_{31}} \cdot {u_{12}}}{u_{22}}=\frac{-13-1 \cdot 1}{-6}=\frac{2}{3}; \qquad \]

\[{u_{33}} = a_{33}-\left({{l_{31}} \cdot {u_{13}}+{l_{32}} \cdot {u_{23}}}\right)=-9-\left({1 \cdot \left( -1 \right)+\frac{2}{3} \cdot \left( -10 \right)}\right)=- \frac{4}{3}; \qquad \]

\[{l_{33}} = \frac{a_{33}- \left({{l_{31}} \cdot {u_{13}}+{l_{32}} \cdot {u_{23}}}\right)}{u_{33}}=\frac{-9-\left({1 \cdot \left( -1 \right)+\frac{2}{3} \cdot \left( -10 \right)}\right)}{- \frac{4}{3}}=1; \qquad \]

Таким образом, матрицы U и L равны:

\[U=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\0 & -6 & -10\\0 & 0 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right); \qquad L=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\3 & 1 & 0\\1 & \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right);\]

Тогда \(AX=B \Rightarrow LUX=B\).

Пусть \(Y=UX\), решаем систему \(LY=B\) прямой подстановкой

\[\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\3 & 1 & 0\\1 & \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\2\end{matrix}\right)\Rightarrow Y=\left(\begin{matrix}-1\\2\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\]

Теперь решаем систему \(UX=Y\) обратной подстановкой

\[\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\0 & -6 & -10\\0 & 0 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\Rightarrow X=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{7}{4}\\- \frac{5}{4}\end{matrix}\right)\]

Решение

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-4,\\y=\frac{7}{4},\\z=- \frac{5}{4}\end{array}} \right.\]

$\left\{ \begin{array}{l}x+y-z=-1,\\3x-3y-13z=-1,\\x-3y-9z=2 \end{array} \right.$ \newline \textbf{Решаем систему методом LU-разложения.} \newline Решаем систему $AX=B$. \newline $A=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\3 & -3 & -13\\1 & -3 & -9\end{matrix}\right)$ \newline Разложим матрицу A на произведение двух матриц A=LU, где L - нижнетреугольная матрица, а U-верхнетреугольная. \newline Используем компактную схему Краута \newline ${u_{ij}} = {a_{ij}} - \sum\limits_{k = 1}^i {{l_{ik}}} \cdot {u_{kj}}; \qquad {l_{ij}} = \frac{a_{ij}- \sum\limits_{k = 1}^{j-1} {{l_{ik}}} \cdot {u_{kj}}}{u_{jj}}$ \newline Вычисляем по этим формулам \newline ${u_{11}} = a_{11}=1; \qquad {u_{12}} = a_{12}=1; \qquad {u_{13}} = a_{13}=-1; \qquad $ \newline ${l_{11}} = a_{11}=1; \qquad {l_{21}} = a_{21}=3; \qquad {l_{31}} = a_{31}=1; \qquad $ \newline ${u_{22}} = a_{22}-{l_{21}} \cdot {u_{12}}=-3-3 \cdot 1=-6; \qquad $ \newline ${u_{23}} = a_{23}-{l_{21}} \cdot {u_{12}}=-13-3 \cdot \left( -1 \right)=-10; \qquad $ \newline ${l_{22}} = \frac{a_{22}- {l_{21}} \cdot {u_{12}}}{u_{22}}=\frac{-3-3 \cdot 1}{-6}=1; \qquad $ \newline ${l_{32}} = \frac{a_{32}- {l_{31}} \cdot {u_{12}}}{u_{22}}=\frac{-13-1 \cdot 1}{-6}=\frac{2}{3}; \qquad $ \newline ${u_{33}} = a_{33}-\left({{l_{31}} \cdot {u_{13}}+{l_{32}} \cdot {u_{23}}}\right)=-9-\left({1 \cdot \left( -1 \right)+\frac{2}{3} \cdot \left( -10 \right)}\right)=- \frac{4}{3}; \qquad $ \newline ${l_{33}} = \frac{a_{33}- \left({{l_{31}} \cdot {u_{13}}+{l_{32}} \cdot {u_{23}}}\right)}{u_{33}}=\frac{-9-\left({1 \cdot \left( -1 \right)+\frac{2}{3} \cdot \left( -10 \right)}\right)}{- \frac{4}{3}}=1; \qquad $ \newline Таким образом, матрицы U и L равны: \newline $U=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\0 & -6 & -10\\0 & 0 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right); \qquad L=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\3 & 1 & 0\\1 & \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right);$ \newline Тогда $AX=B \Rightarrow LUX=B$. \newline Пусть $Y=UX$, решаем систему $LY=B$ прямой подстановкой \newline $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\3 & 1 & 0\\1 & \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\2\end{matrix}\right)\Rightarrow Y=\left(\begin{matrix}-1\\2\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$ \newline Теперь решаем систему $UX=Y$ обратной подстановкой \newline $\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1\\0 & -6 & -10\\0 & 0 & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\Rightarrow X=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{7}{4}\\- \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$ \newline Решение \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-4,\\y=\frac{7}{4},\\z=- \frac{5}{4}\end{array}} \right.$