\[y=\operatorname{arctg}{\left(y' \right)}\]

Уравнение, не разрешённое относительно производной вида \(y=f\left(y'\right)\)

Пусть \(y' = p \Rightarrow \frac{dy}{dx} = p \Rightarrow dy = pdx\), и уравнение

\[y=\operatorname{arctg}{\left(p \right)}\]

Берём дифференциал

\[dy=\frac{1}{p^{2} + 1}dp\]

\[pdx=\frac{1}{p^{2} + 1}dp\]

\[dx=\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp\]

Интегрируем

\[x=\int{\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp}=\ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C\]

Параметрическое решение уравнения

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C,\\y =\operatorname{arctg}{\left(p \right)} \end{array} \right.\]

$y=\mathrm{arctg}{\left(y' \right)}$ \newline Уравнение, не разрешённое относительно производной вида $y=f\left(y'\right)$ \newline Пусть $y' = p \Rightarrow \frac{dy}{dx} = p \Rightarrow dy = pdx$, и уравнение \newline $y=\mathrm{arctg}{\left(p \right)}$ \newline Берём дифференциал \newline $dy=\frac{1}{p^{2} + 1}dp$ \newline $pdx=\frac{1}{p^{2} + 1}dp$ \newline $dx=\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp$ \newline Интегрируем \newline $x=\int{\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp}=\ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C$ \newline Параметрическое решение уравнения \newline $\left\{ \begin{array}{l}x = \ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C,\\y =\mathrm{arctg}{\left(p \right)} \end{array} \right.$