Хотите видеть решение без ватермарки и скачать его - войдите на сайт (это не займёт более 10 с).
\[y=\operatorname{arctg}{\left(y' \right)}\]
Уравнение, не разрешённое относительно производной вида \(y=f\left(y'\right)\)
Пусть \(y' = p \Rightarrow \frac{dy}{dx} = p \Rightarrow dy = pdx\), и уравнение
\[y=\operatorname{arctg}{\left(p \right)}\]
Берём дифференциал
\[dy=\frac{1}{p^{2} + 1}dp\]
\[pdx=\frac{1}{p^{2} + 1}dp\]
\[dx=\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp\]
Интегрируем
\[x=\int{\frac{1}{p \left(p^{2} + 1\right)}dp}=\ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C\]
Параметрическое решение уравнения
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \ln{\left(p \right)} - \frac{\ln{\left(p^{2} + 1 \right)}}{2}+C,\\y =\operatorname{arctg}{\left(p \right)} \end{array} \right.\]
В решении могут быть ошибки, несмотря на то, что авторы сервиса стараются исключить их. Проверяйте решение.