\(G\left({x,y}\right)=x + 3 y \to extr\), при условии \(\varphi\left({x,y}\right)=x^{2} + y^{2} - 10=0\)

Составим функцию Лагранжа

\[L\left({x,y,\lambda}\right)=G\left({x,y}\right)+\lambda\varphi\left({x,y}\right)=x + 3 y+\lambda \cdot \left({x^{2} + y^{2} - 10}\right)\]

Необходимые условия экстреумма:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\varphi\left({x,y}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 \lambda x + 1=0,\\2 \lambda y + 3=0,\\x^{2} + y^{2} - 10=0\end{array}} \right.\]

Стационарные точки:

\[•\:x=1,y=3,\lambda=- \frac{1}{2}\]

\[•\:x=-1,y=-3,\lambda=\frac{1}{2}\]

Достаточные условия:

Число условий \(m=1\), число переменных функции \(n=2\).

Составим матрицу размерностью \(m+n \times m+n\)

\[H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda\end{matrix}\right)\]

Если знаки угловых миноров \(H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}\) совпадают со знаком числа \(\left(-1\right)^m\), то стационарная точка является точкой условного минимума функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака \(\left(-1\right)^{m+1}\), то стационарная точка является точкой условного максимума функции.

Исследуем знак определителя этой матрицы в каждой стационарной точке.

\[\left| {H} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \lambda \cdot 2 \lambda+2 x \cdot 0 \cdot 2 y+2 x \cdot 0 \cdot 2 y-2 y \cdot 2 \lambda \cdot 2 y-2 x \cdot 2 x \cdot 2 \lambda-0 \cdot 0 \cdot 0=8 \lambda \left(- x^{2} - y^{2}\right)\]

1) В точке \(\left( 1;3 \right)\):

\[\left| {H} \right|=- 8 \cdot 1^{2} \left(- \frac{1}{2}\right) - 8 \cdot 3^{2} \left(- \frac{1}{2}\right)=40>0\]

Так как знак определителя совпадает со знаком \(\left(-1\right)^{m+1}=1\), то это точка условного максимума.

\[G\left( 1;3 \right)=1 + 3 \cdot 3=10\]

2) В точке \(\left( -1;-3 \right)\):

\[\left| {H} \right|=- 8 \cdot \left(-1\right)^{2} \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \left(-3\right)^{2} \cdot \frac{1}{2}=-40<0\]

Так как знак определителя совпадает со знаком \(\left(-1\right)^m=-1\), то это точка условного минимума.

\[G\left( -1;-3 \right)=-1 + 3 \cdot \left(-3\right)=-10\]

$G\left({x,y}\right)=x + 3 y \to extr$, при условии $\varphi\left({x,y}\right)=x^{2} + y^{2} - 10=0$ \newline Составим функцию Лагранжа \newline $L\left({x,y,\lambda}\right)=G\left({x,y}\right)+\lambda\varphi\left({x,y}\right)=x + 3 y+\lambda \cdot \left({x^{2} + y^{2} - 10}\right)$ \newline \textbf{Необходимые условия экстреумма:} \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\varphi\left({x,y}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 \lambda x + 1=0,\\2 \lambda y + 3=0,\\x^{2} + y^{2} - 10=0\end{array}} \right.$ \newline Стационарные точки: \newline $•\:x=1,y=3,\lambda=- \frac{1}{2}$ \newline $•\:x=-1,y=-3,\lambda=\frac{1}{2}$ \newline \textbf{Достаточные условия:} \newline Число условий $m=1$, число переменных функции $n=2$. \newline Составим матрицу размерностью $m+n \times m+n$ \newline $H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda\end{matrix}\right)$ \newline \textit{Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}$ совпадают со знаком числа $\left(-1\right)^m$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{минимума} функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака $\left(-1\right)^{m+1}$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{максимума} функции.} \newline Исследуем знак определителя этой матрицы в каждой стационарной точке. \newline $\left| {H} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \lambda \cdot 2 \lambda+2 x \cdot 0 \cdot 2 y+2 x \cdot 0 \cdot 2 y-2 y \cdot 2 \lambda \cdot 2 y-2 x \cdot 2 x \cdot 2 \lambda-0 \cdot 0 \cdot 0=8 \lambda \left(- x^{2} - y^{2}\right)$ \newline 1) В точке $\left( 1;3 \right)$: \newline $\left| {H} \right|=- 8 \cdot 1^{2} \left(- \frac{1}{2}\right) - 8 \cdot 3^{2} \left(- \frac{1}{2}\right)=40>0$ \newline Так как знак определителя совпадает со знаком $\left(-1\right)^{m+1}=1$, то это точка условного \textbf{максимума}. \newline $G\left( 1;3 \right)=1 + 3 \cdot 3=10$ \newline 2) В точке $\left( -1;-3 \right)$: \newline $\left| {H} \right|=- 8 \cdot \left(-1\right)^{2} \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot \left(-3\right)^{2} \cdot \frac{1}{2}=-40<0$ \newline Так как знак определителя совпадает со знаком $\left(-1\right)^m=-1$, то это точка условного \textbf{минимума}. \newline $G\left( -1;-3 \right)=-1 + 3 \cdot \left(-3\right)=-10$