\(H\left({x,y}\right)=x^{2} - x + y^{2} \to extr\), при условии \(\varphi\left({x,y}\right)=x + y - 1=0\)

Составим функцию Лагранжа

\[L\left({x,y,\lambda}\right)=H\left({x,y}\right)+\lambda\varphi\left({x,y}\right)=x^{2} - x + y^{2}+\lambda \cdot \left({x + y - 1}\right)\]

Необходимые условия экстреумма:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\varphi\left({x,y}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\lambda + 2 x - 1=0,\\\lambda + 2 y=0,\\x + y - 1=0\end{array}} \right.\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=\frac{3}{4},\\y=\frac{1}{4},\\\lambda=- \frac{1}{2}\end{array}} \right.\]

Достаточные условия:

Число условий \(m=1\), число переменных функции \(n=2\).

Составим матрицу размерностью \(m+n \times m+n\)

\[{\cal H}=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Если знаки угловых миноров \({\cal H}_{2m+1},{\cal H}_{2m+2},...,{\cal H}_{m+n}\) совпадают со знаком числа \(\left(-1\right)^m\), то стационарная точка является точкой условного минимума функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака \(\left(-1\right)^{m+1}\), то стационарная точка является точкой условного максимума функции.

Исследуем знак определителя этой матрицы в стационарной точке.

\[\left| {{\cal H}} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & 2\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \cdot 2+1 \cdot 0 \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 2-0 \cdot 0 \cdot 0=-4\]

Так как знак определителя совпадает со знаком \(\left(-1\right)^m=-1\), то это точка условного минимума.

\[H\left( \frac{3}{4};\frac{1}{4} \right)=\left( \frac{3}{4} \right)^{2} - \frac{3}{4} + \left( \frac{1}{4} \right)^{2}=- \frac{1}{8}\]

$H\left({x,y}\right)=x^{2} - x + y^{2} \to extr$, при условии $\varphi\left({x,y}\right)=x + y - 1=0$ \newline Составим функцию Лагранжа \newline $L\left({x,y,\lambda}\right)=H\left({x,y}\right)+\lambda\varphi\left({x,y}\right)=x^{2} - x + y^{2}+\lambda \cdot \left({x + y - 1}\right)$ \newline \textbf{Необходимые условия экстреумма:} \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\varphi\left({x,y}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\lambda + 2 x - 1=0,\\\lambda + 2 y=0,\\x + y - 1=0\end{array}} \right.\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=\frac{3}{4},\\y=\frac{1}{4},\\\lambda=- \frac{1}{2}\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Достаточные условия:} \newline Число условий $m=1$, число переменных функции $n=2$. \newline Составим матрицу размерностью $m+n \times m+n$ \newline ${\cal H}=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & 2\end{matrix}\right)$ \newline \textit{Если знаки угловых миноров ${\cal H}_{2m+1},{\cal H}_{2m+2},...,{\cal H}_{m+n}$ совпадают со знаком числа $\left(-1\right)^m$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{минимума} функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака $\left(-1\right)^{m+1}$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{максимума} функции.} \newline Исследуем знак определителя этой матрицы в стационарной точке. \newline $\left| {{\cal H}} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\1 & 0 & 2\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \cdot 2+1 \cdot 0 \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 2-0 \cdot 0 \cdot 0=-4$ \newline Так как знак определителя совпадает со знаком $\left(-1\right)^m=-1$, то это точка условного \textbf{минимума}. \newline $H\left( \frac{3}{4};\frac{1}{4} \right)=\left( \frac{3}{4} \right)^{2} - \frac{3}{4} + \left( \frac{1}{4} \right)^{2}=- \frac{1}{8}$