\(f\left({x,y,z}\right)=x + y + z \to extr\), при условии \(\varphi\left({x,y,z}\right)=x y z - 1=0\)

Составим функцию Лагранжа

\[L\left({x,y,z,\lambda}\right)=f\left({x,y,z}\right)+\lambda\varphi\left({x,y,z}\right)=x + y + z+\lambda \cdot \left({x y z - 1}\right)\]

Необходимые условия экстреумма:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial z }=0,\\\varphi\left({x,y,z}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\lambda y z + 1=0,\\\lambda x z + 1=0,\\\lambda x y + 1=0,\\x y z - 1=0\end{array}} \right.\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=1,\\y=1,\\z=1,\\\lambda=-1\end{array}} \right.\]

Достаточные условия:

Число условий \(m=1\), число переменных функции \(n=3\).

Составим матрицу размерностью \(m+n \times m+n\)

\[H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} &{{\varphi}'_{z}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial z }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial z }} \\{{\varphi}'_{z}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & y z & x z & x y\\y z & 0 & \lambda z & \lambda y\\x z & \lambda z & 0 & \lambda x\\x y & \lambda y & \lambda x & 0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right)\]

Если знаки угловых миноров \(H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}\) совпадают со знаком числа \(\left(-1\right)^m\), то стационарная точка является точкой условного минимума функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака \(\left(-1\right)^{m+1}\), то стационарная точка является точкой условного максимума функции.

Исследуем знаки угловых миноров \(H_{3},H_{4}\) в стационарной точке.

\[H_{3}=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot 0 \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 0-0 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=-2\]

Раскладываем определитель \(H_{4}\) по 1-й строке

\[H_{4}=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{11}-1 \cdot M_{12}+1 \cdot M_{13}-1 \cdot M_{14}\]

Вычисляем миноры отдельно

\[M_{12}=\left| {\begin{matrix}1 & -1 & -1\\1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=1 \cdot 0 \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+\left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 0-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=1\]

\[M_{13}=\left| {\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+0 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot 0-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=-1\]

\[M_{14}=\left| {\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\\1 & -1 & -1\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+0 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)=1\]

Таким образом, определитель матрицы равен

\[H_{4}=0 \cdot M_{11}-1 \cdot 1+1 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 1=-3\]

Так как знаки угловых миноров совпадает со знаком \(\left(-1\right)^m=-1\), то это точка условного минимума.

\[f\left( 1;1;1 \right)=1 + 1 + 1=3\]

$f\left({x,y,z}\right)=x + y + z \to extr$, при условии $\varphi\left({x,y,z}\right)=x y z - 1=0$ \newline Составим функцию Лагранжа \newline $L\left({x,y,z,\lambda}\right)=f\left({x,y,z}\right)+\lambda\varphi\left({x,y,z}\right)=x + y + z+\lambda \cdot \left({x y z - 1}\right)$ \newline \textbf{Необходимые условия экстреумма:} \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial z }=0,\\\varphi\left({x,y,z}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\lambda y z + 1=0,\\\lambda x z + 1=0,\\\lambda x y + 1=0,\\x y z - 1=0\end{array}} \right.\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=1,\\y=1,\\z=1,\\\lambda=-1\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Достаточные условия:} \newline Число условий $m=1$, число переменных функции $n=3$. \newline Составим матрицу размерностью $m+n \times m+n$ \newline $H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{{\varphi}'_{x}} &{{\varphi}'_{y}} &{{\varphi}'_{z}} \\{{\varphi}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial z }} \\{{\varphi}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial z }} \\{{\varphi}'_{z}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & y z & x z & x y\\y z & 0 & \lambda z & \lambda y\\x z & \lambda z & 0 & \lambda x\\x y & \lambda y & \lambda x & 0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right)$ \newline \textit{Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}$ совпадают со знаком числа $\left(-1\right)^m$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{минимума} функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака $\left(-1\right)^{m+1}$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{максимума} функции.} \newline Исследуем знаки угловых миноров $H_{3},H_{4}$ в стационарной точке. \newline $H_{3}=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot 0 \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 1 \cdot 0-0 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=-2$ \newline Раскладываем определитель $H_{4}$ по 1-й строке \newline $H_{4}=\left| {\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{11}-1 \cdot M_{12}+1 \cdot M_{13}-1 \cdot M_{14}$ \newline Вычисляем миноры отдельно \newline $M_{12}=\left| {\begin{matrix}1 & -1 & -1\\1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=1 \cdot 0 \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+\left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 0-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=1$ \newline $M_{13}=\left| {\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & -1 & -1\\1 & -1 & 0\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -1 \right) \cdot 0+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+0 \cdot \left( -1 \right) \cdot 1-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot 0-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)=-1$ \newline $M_{14}=\left| {\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & -1 & 0\\1 & -1 & -1\end{matrix}} \right|=1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)+0 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot \left( -1 \right) \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 0 \cdot \left( -1 \right)=1$ \newline Таким образом, определитель матрицы равен \newline $H_{4}=0 \cdot M_{11}-1 \cdot 1+1 \cdot \left( -1 \right)-1 \cdot 1=-3$ \newline Так как знаки угловых миноров совпадает со знаком $\left(-1\right)^m=-1$, то это точка условного \textbf{минимума}. \newline $f\left( 1;1;1 \right)=1 + 1 + 1=3$