\(f\left({x,y,z}\right)=x + y + z \to extr\), при условиях: \(x^{2} + y^{2} - 10=0,x + z - 1=0\).

Составим функцию Лагранжа

\[L\left({x,y,z,\lambda_{1},\lambda_{2}}\right)=f\left({x,y,z}\right)+\lambda_{1} \cdot \varphi_{1}\left({x,y,z}\right)+\lambda_{2} \cdot \varphi_{2}\left({x,y,z}\right)=x + y + z+\lambda_{1} \cdot \left({x^{2} + y^{2} - 10}\right)+\lambda_{2} \cdot \left({x + z - 1}\right)\]

Необходимые условия экстреумма:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial z }=0,\\\varphi_{1}\left({x,y,z}\right)=0,\\\varphi_{2}\left({x,y,z}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 \lambda_{1} x + \lambda_{2} + 1=0,\\2 \lambda_{1} y + 1=0,\\\lambda_{2} + 1=0,\\x^{2} + y^{2} - 10=0,\\x + z - 1=0\end{array}} \right.\]

Стационарные точки:

\[•\:x=0,y=\sqrt{10},z=1,\lambda_{1}=- \frac{\sqrt{10}}{20},\lambda_{2}=-1\]

\[•\:x=0,y=- \sqrt{10},z=1,\lambda_{1}=\frac{\sqrt{10}}{20},\lambda_{2}=-1\]

Достаточные условия:

Число условий \(m=2\), число переменных функции \(n=3\).

Составим матрицу размерностью \(m+n \times m+n\)

\[H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{0} &{{\varphi_{1}}'_{x}} &{{\varphi_{1}}'_{y}} &{{\varphi_{1}}'_{z}} \\{0} &{0} &{{\varphi_{2}}'_{x}} &{{\varphi_{2}}'_{y}} &{{\varphi_{2}}'_{z}} \\{{\varphi_{1}}'_{x}} &{{\varphi_{2}}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial z }} \\{{\varphi_{1}}'_{y}} &{{\varphi_{2}}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial z }} \\{{\varphi_{1}}'_{z}} &{{\varphi_{2}}'_{z}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 1 & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\]

Если знаки угловых миноров \(H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}\) совпадают со знаком числа \(\left(-1\right)^m\), то стационарная точка является точкой условного минимума функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака \(\left(-1\right)^{m+1}\), то стационарная точка является точкой условного максимума функции.

Исследуем знак углового минора \(H_{5}\) - опредлителя матрицы \(H\) в каждой стационарной точке.

Раскладываем определитель \(\left| {H} \right|\) по 5-й строке

\[\left| {H} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 1 & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{51}-1 \cdot M_{52}+0 \cdot M_{53}+0 \cdot M_{54}+0 \cdot M_{55}\]

Вычисляем миноры отдельно

Раскладываем минор \(M_{52}\) по 4-му столбцу

\[M_{52}=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{14}+1 \cdot M_{24}+0 \cdot M_{34}+0 \cdot M_{44}\]

Вычисляем миноры отдельно

\[M_{24}=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda_{1} & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda_{1}\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \lambda_{1} \cdot 2 \lambda_{1}+2 x \cdot 0 \cdot 2 y+2 x \cdot 0 \cdot 2 y-2 y \cdot 2 \lambda_{1} \cdot 2 y-2 x \cdot 2 x \cdot 2 \lambda_{1}-0 \cdot 0 \cdot 0=- 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2}\]

Таким образом, минор равен

\[M_{52}=0 \cdot M_{14}+1 \cdot \left( - 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2} \right)+0 \cdot M_{34}+0 \cdot M_{44}=8 \lambda_{1} \left(- x^{2} - y^{2}\right)\]

Таким образом, определитель матрицы равен

\[\left| {H} \right|=0 \cdot M_{51}-1 \cdot \left( - 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2} \right)+0 \cdot M_{53}+0 \cdot M_{54}+0 \cdot M_{55}=8 \lambda_{1} \left(x^{2} + y^{2}\right)\]

1) В точке \(\left( 0;\sqrt{10};1 \right)\):

\[\left| {H} \right|=8 \cdot 0^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{20}\right) + 8 \cdot \sqrt{10}^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{20}\right)=- 4 \sqrt{10}<0\]

Так как знак определителя совпадает со знаком \(\left(-1\right)^{m+1}=-1\), то это точка условного максимума.

\[f\left( 0;\sqrt{10};1 \right)=0 + \sqrt{10} + 1=1 + \sqrt{10}\]

2) В точке \(\left( 0;- \sqrt{10};1 \right)\):

\[\left| {H} \right|=8 \cdot 0^{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{20} + 8 \cdot \left(- \sqrt{10}\right)^{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{20}=4 \sqrt{10}>0\]

Так как знак определителя совпадает со знаком \(\left(-1\right)^m=1\), то это точка условного минимума.

\[f\left( 0;- \sqrt{10};1 \right)=0 - \sqrt{10} + 1=1 - \sqrt{10}\]

$f\left({x,y,z}\right)=x + y + z \to extr$, при условиях: $x^{2} + y^{2} - 10=0,x + z - 1=0$. \newline Составим функцию Лагранжа \newline $L\left({x,y,z,\lambda_{1},\lambda_{2}}\right)=f\left({x,y,z}\right)+\lambda_{1} \cdot \varphi_{1}\left({x,y,z}\right)+\lambda_{2} \cdot \varphi_{2}\left({x,y,z}\right)=x + y + z+\lambda_{1} \cdot \left({x^{2} + y^{2} - 10}\right)+\lambda_{2} \cdot \left({x + z - 1}\right)$ \newline \textbf{Необходимые условия экстреумма:} \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial L}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial L}{ \partial z }=0,\\\varphi_{1}\left({x,y,z}\right)=0,\\\varphi_{2}\left({x,y,z}\right)=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 \lambda_{1} x + \lambda_{2} + 1=0,\\2 \lambda_{1} y + 1=0,\\\lambda_{2} + 1=0,\\x^{2} + y^{2} - 10=0,\\x + z - 1=0\end{array}} \right.$ \newline Стационарные точки: \newline $•\:x=0,y=\sqrt{10},z=1,\lambda_{1}=- \frac{\sqrt{10}}{20},\lambda_{2}=-1$ \newline $•\:x=0,y=- \sqrt{10},z=1,\lambda_{1}=\frac{\sqrt{10}}{20},\lambda_{2}=-1$ \newline \textbf{Достаточные условия:} \newline Число условий $m=2$, число переменных функции $n=3$. \newline Составим матрицу размерностью $m+n \times m+n$ \newline $H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{0} &{0} &{{\varphi_{1}}'_{x}} &{{\varphi_{1}}'_{y}} &{{\varphi_{1}}'_{z}} \\{0} &{0} &{{\varphi_{2}}'_{x}} &{{\varphi_{2}}'_{y}} &{{\varphi_{2}}'_{z}} \\{{\varphi_{1}}'_{x}} &{{\varphi_{2}}'_{x}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial x \partial z }} \\{{\varphi_{1}}'_{y}} &{{\varphi_{2}}'_{y}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial y \partial z }} \\{{\varphi_{1}}'_{z}} &{{\varphi_{2}}'_{z}} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} L}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 1 & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$ \newline \textit{Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},H_{2m+2},...,H_{m+n}$ совпадают со знаком числа $\left(-1\right)^m$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{минимума} функции. Если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака $\left(-1\right)^{m+1}$, то стационарная точка является точкой условного \textbf{максимума} функции.} \newline Исследуем знак углового минора $H_{5}$ - опредлителя матрицы $H$ в каждой стационарной точке. \newline Раскладываем определитель $\left| {H} \right|$ по 5-й строке \newline $\left| {H} \right|=\left| {\begin{matrix}0 & 0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 1 & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{51}-1 \cdot M_{52}+0 \cdot M_{53}+0 \cdot M_{54}+0 \cdot M_{55}$ \newline Вычисляем миноры отдельно \newline Раскладываем минор $M_{52}$ по 4-му столбцу \newline $M_{52}=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\2 x & 2 \lambda_{1} & 0 & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda_{1} & 0\end{matrix}} \right|=0 \cdot M_{14}+1 \cdot M_{24}+0 \cdot M_{34}+0 \cdot M_{44}$ \newline Вычисляем миноры отдельно \newline $M_{24}=\left| {\begin{matrix}0 & 2 x & 2 y\\2 x & 2 \lambda_{1} & 0\\2 y & 0 & 2 \lambda_{1}\end{matrix}} \right|=0 \cdot 2 \lambda_{1} \cdot 2 \lambda_{1}+2 x \cdot 0 \cdot 2 y+2 x \cdot 0 \cdot 2 y-2 y \cdot 2 \lambda_{1} \cdot 2 y-2 x \cdot 2 x \cdot 2 \lambda_{1}-0 \cdot 0 \cdot 0=- 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2}$ \newline Таким образом, минор равен \newline $M_{52}=0 \cdot M_{14}+1 \cdot \left( - 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2} \right)+0 \cdot M_{34}+0 \cdot M_{44}=8 \lambda_{1} \left(- x^{2} - y^{2}\right)$ \newline Таким образом, определитель матрицы равен \newline $\left| {H} \right|=0 \cdot M_{51}-1 \cdot \left( - 8 \lambda_{1} x^{2} - 8 \lambda_{1} y^{2} \right)+0 \cdot M_{53}+0 \cdot M_{54}+0 \cdot M_{55}=8 \lambda_{1} \left(x^{2} + y^{2}\right)$ \newline 1) В точке $\left( 0;\sqrt{10};1 \right)$: \newline $\left| {H} \right|=8 \cdot 0^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{20}\right) + 8 \cdot \sqrt{10}^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{20}\right)=- 4 \sqrt{10}<0$ \newline Так как знак определителя совпадает со знаком $\left(-1\right)^{m+1}=-1$, то это точка условного \textbf{максимума}. \newline $f\left( 0;\sqrt{10};1 \right)=0 + \sqrt{10} + 1=1 + \sqrt{10}$ \newline 2) В точке $\left( 0;- \sqrt{10};1 \right)$: \newline $\left| {H} \right|=8 \cdot 0^{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{20} + 8 \cdot \left(- \sqrt{10}\right)^{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{20}=4 \sqrt{10}>0$ \newline Так как знак определителя совпадает со знаком $\left(-1\right)^m=1$, то это точка условного \textbf{минимума}. \newline $f\left( 0;- \sqrt{10};1 \right)=0 - \sqrt{10} + 1=1 - \sqrt{10}$