\[f\left( x;y;z \right)=x^{2} - x + y^{2} - y + z^{2} + 4\]

Необходимые условия экстремума

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial f}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial z }=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 x - 1=0,\\2 y - 1=0,\\2 z=0\end{array}} \right.\]

Стационарная точка: \(\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)\).

Достаточные условия экстремума.

Составим матрицу Гессе:

\[H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x \partial z }} \\{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y \partial z }} \\{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Матрица Гессе в стационарной точке

\[H\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)=\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)\]

Исследуем знаки угловых миноров матрицы

\[\Delta_{1}=\left| {2} \right|=2>0;\]

\[\Delta_{2}=\left| {\begin{matrix}2 & 0\\0 & 2\end{matrix}} \right|=2 \cdot 2-0 \cdot 0=4>0;\]

\[\Delta_{3}=\left| {\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}} \right|=2 \cdot 2 \cdot 2+0 \cdot 0 \cdot 0+0 \cdot 0 \cdot 0-0 \cdot 2 \cdot 0-0 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot 0 \cdot 0=8>0;\]

Так как знаки угловых миноров положительны, то матрица Гессе является положительно определённой, следовательно, точка является локальным минимумом функции.

\[f\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)=\left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{2} + 0^{2} + 4=\frac{7}{2} \approx 3.5.\]

$f\left( x;y;z \right)=x^{2} - x + y^{2} - y + z^{2} + 4$ \newline Необходимые условия экстремума \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial f}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial y }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial z }=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 x - 1=0,\\2 y - 1=0,\\2 z=0\end{array}} \right.$ \newline Стационарная точка: $\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)$. \newline Достаточные условия экстремума. \newline Составим матрицу Гессе: \newline $H=\left({{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x^{2}}} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x \partial y }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial x \partial z }} \\{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y \partial x }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y^{2}}} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial y \partial z }} \\{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z \partial x }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z \partial y }} &{\frac{\partial^{2} f}{ \partial z^{2}}}\end{array}}}\right)=\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)$ \newline Матрица Гессе в стационарной точке \newline $H\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)=\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right)$ \newline Исследуем знаки угловых миноров матрицы \newline $\Delta_{1}=\left| {2} \right|=2>0;$ \newline $\Delta_{2}=\left| {\begin{matrix}2 & 0\\0 & 2\end{matrix}} \right|=2 \cdot 2-0 \cdot 0=4>0;$ \newline $\Delta_{3}=\left| {\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}} \right|=2 \cdot 2 \cdot 2+0 \cdot 0 \cdot 0+0 \cdot 0 \cdot 0-0 \cdot 2 \cdot 0-0 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot 0 \cdot 0=8>0;$ \newline Так как знаки угловых миноров положительны, то матрица Гессе является положительно определённой, следовательно, точка является локальным \textbf{минимумом} функции. \newline $f\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)=\left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{2} + 0^{2} + 4=\frac{7}{2} \approx 3.5.$