\[f\left({x;y}\right)=x^{2} - x y + 3 x + 2 y^{2} + 2 y + 1,\: D: \left\{x + y + 5\ge 0,\:x\le 0,\:y\le 0\right\}\]

1) Стационарные точки внутри области и значение функции в них:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial f}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial y }=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 x - y + 3=0,\\- x + 4 y + 2=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-2,\\y=-1\end{array}} \right.\]

Стационарная точка: \(\left( -2;-1 \right)\).

Эта точка лежит внутри области.

\[f\left( -2;-1 \right)=\left(-2\right)^{2} - \left(-2\right) \cdot -1 + 3 \cdot \left(-2\right) + 2 \cdot \left(-1\right)^{2} + 2 \cdot \left(-1\right) + 1=-3\]

2) Стационарные точки на границах области:

• \(x=- y - 5 \Rightarrow f\left({y}\right)=\left(- y - 5\right)^{2} - \left(- y - 5\right) y + 3 \cdot \left(- y - 5\right) + 2 y^{2} + 2 y + 1=4 y^{2} + 14 y + 11\)

\[f'\left({y}\right)=8 y + 14=0\]

\(y=- \frac{7}{4}\Rightarrow x=- \left(- \frac{7}{4}\right) - 5=- \frac{13}{4}\Rightarrow \left( - \frac{7}{4};- \frac{13}{4} \right)\) — вне области;

• \(x=0 \Rightarrow f\left({y}\right)=0^{2} - 0 y + 3 \cdot 0 + 2 y^{2} + 2 y + 1=2 y^{2} + 2 y + 1\)

\[f'\left({y}\right)=4 y + 2=0\]

\(y=- \frac{1}{2}\Rightarrow \left( - \frac{1}{2};0 \right)\) — вне области;

• \(y=0 \Rightarrow f\left({x}\right)=2 \cdot 0^{2} - 0 x + 2 \cdot 0 + x^{2} + 3 x + 1=x^{2} + 3 x + 1\)

\[f'\left({x}\right)=2 x + 3=0\]

\(x=- \frac{3}{2}\Rightarrow \left( - \frac{3}{2};0 \right)\) — внутри области; \(f\left({- \frac{3}{2};0}\right)=\left(- \frac{3}{2}\right)^{2} + 3 \cdot \left(- \frac{3}{2}\right) + 1=- \frac{5}{4}\)

3) Значения в вершинах

\[f\left( 0;-5 \right)=0^{2} - 0 \cdot \left(-5\right) + 3 \cdot 0 + 2 \cdot \left(-5\right)^{2} + 2 \cdot \left(-5\right) + 1=41\]

\[f\left( -5;0 \right)=\left(-5\right)^{2} - \left(-5\right) \cdot 0 + 3 \cdot \left(-5\right) + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1=11\]

\[f\left( 0;0 \right)=0^{2} - 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1=1\]

4) Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшего значения функция достигает в точке: \(\left( 0;-5 \right)\), и это значение равно: \(f_{max}=41\).

Наименьшего значения функция достигает в точке: \(\left( -2;-1 \right)\), и это значение равно: \(f_{min}=-3\).

$f\left({x;y}\right)=x^{2} - x y + 3 x + 2 y^{2} + 2 y + 1,\: D: \left\{x + y + 5\ge 0,\:x\le 0,\:y\le 0\right\}$ \newline 1) Стационарные точки внутри области и значение функции в них: \newline $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{\partial f}{ \partial x }=0,\\\frac{\partial f}{ \partial y }=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2 x - y + 3=0,\\- x + 4 y + 2=0\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-2,\\y=-1\end{array}} \right.$ \newline Стационарная точка: $\left( -2;-1 \right)$. \newline Эта точка лежит внутри области. \newline $f\left( -2;-1 \right)=\left(-2\right)^{2} - \left(-2\right) \cdot -1 + 3 \cdot \left(-2\right) + 2 \cdot \left(-1\right)^{2} + 2 \cdot \left(-1\right) + 1=-3$ \newline 2) Стационарные точки на границах области: \newline • $x=- y - 5 \Rightarrow f\left({y}\right)=\left(- y - 5\right)^{2} - \left(- y - 5\right) y + 3 \cdot \left(- y - 5\right) + 2 y^{2} + 2 y + 1=4 y^{2} + 14 y + 11$ \newline $f'\left({y}\right)=8 y + 14=0$ \newline $y=- \frac{7}{4}\Rightarrow x=- \left(- \frac{7}{4}\right) - 5=- \frac{13}{4}\Rightarrow \left( - \frac{7}{4};- \frac{13}{4} \right)$ — вне области; \newline • $x=0 \Rightarrow f\left({y}\right)=0^{2} - 0 y + 3 \cdot 0 + 2 y^{2} + 2 y + 1=2 y^{2} + 2 y + 1$ \newline $f'\left({y}\right)=4 y + 2=0$ \newline $y=- \frac{1}{2}\Rightarrow \left( - \frac{1}{2};0 \right)$ — вне области; \newline • $y=0 \Rightarrow f\left({x}\right)=2 \cdot 0^{2} - 0 x + 2 \cdot 0 + x^{2} + 3 x + 1=x^{2} + 3 x + 1$ \newline $f'\left({x}\right)=2 x + 3=0$ \newline $x=- \frac{3}{2}\Rightarrow \left( - \frac{3}{2};0 \right)$ — внутри области; $f\left({- \frac{3}{2};0}\right)=\left(- \frac{3}{2}\right)^{2} + 3 \cdot \left(- \frac{3}{2}\right) + 1=- \frac{5}{4}$ \newline 3) Значения в вершинах \newline $f\left( 0;-5 \right)=0^{2} - 0 \cdot \left(-5\right) + 3 \cdot 0 + 2 \cdot \left(-5\right)^{2} + 2 \cdot \left(-5\right) + 1=41$ \newline $f\left( -5;0 \right)=\left(-5\right)^{2} - \left(-5\right) \cdot 0 + 3 \cdot \left(-5\right) + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1=11$ \newline $f\left( 0;0 \right)=0^{2} - 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1=1$ \newline 4) Наибольшее и наименьшее значение функции \newline Наибольшего значения функция достигает в точке: $\left( 0;-5 \right)$, и это значение равно: $f_{max}=41$. \newline Наименьшего значения функция достигает в точке: $\left( -2;-1 \right)$, и это значение равно: $f_{min}=-3$. \newline