\[f\left({x}\right)=\begin{cases}0,& - \pi < x <0,\\\sin{x},& 0 < x <\pi\end{cases},\quad \]

Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье.

Ряд Фурье общего вида для \(2\pi\) периодичных функций:

\[f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}\]

Вычислим коэффициенты ряда:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot \sin{x}dx} =\left.{\left( - \frac{\cos{x}}{\pi} \right)}\right | _{0}^{\pi} =- \frac{\cos{\left(\pi \right)}}{\pi}+\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\pi}=\frac{2}{\pi} \approx 0.6366\]

\[a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{x}\cos{\left(n x \right)}dx}=\left| {\sin \alpha \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right|=\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left({\sin \left( {x - n x } \right) + \sin \left( {x + n x } \right)}\right)}dx=\frac{1}{2 \pi}\left. {{\left( {\frac{1}{n - 1}\cos \left( - n x + x \right) + \left( - \frac{1}{n + 1} \right)\cos \left( n x + x \right)} \right)}}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n + 1} - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}\]

\[a_{1}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\sin{x}\cdot \cos{x}}dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}dx=\frac{1}{\pi}\left. {\left( - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} \right)} \right|_{0}^{\pi}=0\]

\[b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{x}\sin{\left(n x \right)}dx}=\left| {\sin \alpha \sin \beta = \frac{{\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right|=\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left({\cos \left( {x - n x } \right) - \cos \left( {x + n x } \right)}\right)}dx=\frac{1}{2 \pi}\left. {{\left( {\frac{1}{1 - n}\sin \left( - n x + x \right) - \frac{1}{n + 1}\sin \left( n x + x \right)} \right)}}\right|_{0}^{\pi}=0\]

\[b_{1}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\sin{x}\cdot \sin{x}}dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left( \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} \right)}dx=\frac{1}{\pi}\left. {\left( \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)} \right|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\]

Таким образом, ряд Фурье:

\[f\left( x \right) = \frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\sin{x}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( \frac{\left(-1\right)^{n}}{n + 1} - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} \right)}\cos nx}.\]

Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции.

\[S\left( - \pi \right)=\frac{0+0}{2}=0,\:S\left( 0 \right)=\frac{0+0}{2}=0,\:S\left( \pi \right)=\frac{0+0}{2}=0\]

$f\left({x}\right)=\begin{cases}0,& - \pi < x <0,\\\sin{x},& 0 < x <\pi\end{cases},\quad $ \newline Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. \newline \textbf{Ряд Фурье общего вида для $2\pi$ периодичных функций:} \newline $f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}$ \newline Вычислим коэффициенты ряда: \newline $a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot \sin{x}dx} =\left.{\left( - \frac{\cos{x}}{\pi} \right)}\right | _{0}^{\pi} =- \frac{\cos{\left(\pi \right)}}{\pi}+\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\pi}=\frac{2}{\pi} \approx 0.6366$ \newline $a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{x}\cos{\left(n x \right)}dx}=\left| {\sin \alpha \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right|=\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left({\sin \left( {x - n x } \right) + \sin \left( {x + n x } \right)}\right)}dx=\frac{1}{2 \pi}\left. {{\left( {\frac{1}{n - 1}\cos \left( - n x + x \right) + \left( - \frac{1}{n + 1} \right)\cos \left( n x + x \right)} \right)}}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n + 1} - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}$ \newline $a_{1}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\sin{x}\cdot \cos{x}}dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}dx=\frac{1}{\pi}\left. {\left( - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} \right)} \right|_{0}^{\pi}=0$ \newline $b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{x}\sin{\left(n x \right)}dx}=\left| {\sin \alpha \sin \beta = \frac{{\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}} \right|=\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left({\cos \left( {x - n x } \right) - \cos \left( {x + n x } \right)}\right)}dx=\frac{1}{2 \pi}\left. {{\left( {\frac{1}{1 - n}\sin \left( - n x + x \right) - \frac{1}{n + 1}\sin \left( n x + x \right)} \right)}}\right|_{0}^{\pi}=0$ \newline $b_{1}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\sin{x}\cdot \sin{x}}dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\left( \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} \right)}dx=\frac{1}{\pi}\left. {\left( \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)} \right|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}$ \newline Таким образом, ряд Фурье: \newline $f\left( x \right) = \frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\sin{x}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( \frac{\left(-1\right)^{n}}{n + 1} - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n - 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} \right)}\cos nx}.$ \newline Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции. \newline $S\left( - \pi \right)=\frac{0+0}{2}=0,\:S\left( 0 \right)=\frac{0+0}{2}=0,\:S\left( \pi \right)=\frac{0+0}{2}=0$ \newline \includegraphics{/home/math8/Math8_v/ExternalstorageMath8/cache/img/9128820896148682inputtolatex.png}\newline