\[f\left({x}\right)=\begin{cases}0,& - \pi < x <0,\\1,& 0 < x <\pi\end{cases},\quad \]

Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье.

Ряд Фурье общего вида для \(2\pi\) периодичных функций:

\[f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}\]

Вычислим коэффициенты ряда:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot dx} =\left.{\frac{x}{\pi}}\right | _{0}^{\pi} =\frac{\pi}{\pi}- \frac{0}{\pi}=1\]

\[a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\cos{\left(n x \right)}dx}= \left. {\frac{1}{\pi n}\sin{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi n}\sin {\pi n} -\frac{1}{\pi n}\sin {0} =0\]

\[b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=- \left. {\frac{1}{\pi n}\cos{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =- \frac{1}{\pi n}\cos {\pi n} +\frac{1}{\pi n}\cos {0} =- \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n}\]

Таким образом, ряд Фурье:

\[f\left( x \right) = \frac{1}{2}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n} \right)}\sin nx}.\]

Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции.

\[S\left( - \pi \right)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2},\:S\left( 0 \right)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2},\:S\left( \pi \right)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}\]

$f\left({x}\right)=\begin{cases}0,& - \pi < x <0,\\1,& 0 < x <\pi\end{cases},\quad $ \newline Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. \newline \textbf{Ряд Фурье общего вида для $2\pi$ периодичных функций:} \newline $f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}$ \newline Вычислим коэффициенты ряда: \newline $a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{0}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot dx} =\left.{\frac{x}{\pi}}\right | _{0}^{\pi} =\frac{\pi}{\pi}- \frac{0}{\pi}=1$ \newline $a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\cos{\left(n x \right)}dx}= \left. {\frac{1}{\pi n}\sin{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi n}\sin {\pi n} -\frac{1}{\pi n}\sin {0} =0$ \newline $b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=- \left. {\frac{1}{\pi n}\cos{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =- \frac{1}{\pi n}\cos {\pi n} +\frac{1}{\pi n}\cos {0} =- \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n}$ \newline Таким образом, ряд Фурье: \newline $f\left( x \right) = \frac{1}{2}+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n} \right)}\sin nx}.$ \newline Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции. \newline $S\left( - \pi \right)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2},\:S\left( 0 \right)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2},\:S\left( \pi \right)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$ \newline \includegraphics{/home/math8/Math8_v/ExternalstorageMath8/cache/img/34026122093200684inputtolatex.png}\newline