\[f\left({x}\right)=1,\quad \]

Ряд Фурье по синусам для \(2\pi\) периодичных функций:

\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{b_{n}}\sin nx}}\]

Вычислим коэффициенты ряда:

\[b_{n} = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=- \left. {\frac{2}{\pi n}\cos{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =- \frac{2}{\pi n}\cos {\pi n} +\frac{2}{\pi n}\cos {0} =- \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n}\]

Таким образом, ряд Фурье:

\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n} \right)}\sin nx}.\]

$f\left({x}\right)=1,\quad $ \newline \textbf{Ряд Фурье по синусам для $2\pi$ периодичных функций:} \newline $f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{b_{n}}\sin nx}}$ \newline Вычислим коэффициенты ряда: \newline $b_{n} = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=- \left. {\frac{2}{\pi n}\cos{\left(n x \right)} } \right|_{0}^{\pi} =- \frac{2}{\pi n}\cos {\pi n} +\frac{2}{\pi n}\cos {0} =- \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n}$ \newline Таким образом, ряд Фурье: \newline $f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{\left(-1\right)^{n}}{n} + \frac{1}{n} \right)}\sin nx}.$