\[f\left({x}\right)=x + 1,\quad \]

Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье.

Ряд Фурье общего вида для \(2\pi\) периодичных функций:

\[f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}\]

Вычислим коэффициенты ряда:

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot \left( x + 1 \right)dx} =\left.{\left( \frac{x^{2}}{2 \pi} + \frac{x}{\pi} \right)}\right | _{- \pi}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2 \pi} + \frac{\pi}{\pi}- \frac{\left(- \pi\right)^{2}}{2 \pi} - \frac{- \pi}{\pi}=2\]

\[a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\left( x + 1 \right)\cos{\left(n x \right)}dx}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}u=x + 1&du=dx\\v=-\frac{1}{\pi n}\sin{\left(n x \right)}&dv=\frac{1}{\pi}\cos{\left(n x \right)}dx\end{array}} \right| = \left. {-\frac{1}{\pi n}\left(x + 1\right) \sin{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi n}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)} - \left(1 - \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}+\frac{1}{\pi n^{2}}\left. {\cos{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)} - \left(1 - \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n}=0\]

\[b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\left( x + 1 \right)\sin{\left(n x \right)}dx}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}u=x + 1&du=dx\\v=-\frac{1}{\pi n}\cos{\left(n x \right)}&dv=\frac{1}{\pi}\sin{\left(n x \right)}dx\end{array}} \right| = \left. {-\frac{1}{\pi n}\left(x + 1\right) \cos{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi n}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\cos{\left(n x \right)}dx}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)} + \left(1 - \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}+\frac{1}{\pi n^{2}}\left. {\sin{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)} + \left(1 - \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n} + \frac{2 \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}=- \frac{2 \left(-1\right)^{n}}{n}\]

Таким образом, ряд Фурье:

\[f\left( x \right) = 1+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{2 \left(-1\right)^{n}}{n} \right)}\sin nx}.\]

Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции.

\[S\left( - \pi \right)=\frac{1 + \pi+\left( 1 - \pi \right)}{2}=1,\:S\left( \pi \right)=\frac{1 + \pi+\left( 1 - \pi \right)}{2}=1\]

$f\left({x}\right)=x + 1,\quad $ \newline Функция удовлетворяет условиях Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. \newline \textbf{Ряд Фурье общего вида для $2\pi$ периодичных функций:} \newline $f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_{n}}\cos nx + {b_{n}}\sin nx} \right)}$ \newline Вычислим коэффициенты ряда: \newline $a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{f\left({x}\right)dx}=\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\frac{1}{\pi}\cdot \left( x + 1 \right)dx} =\left.{\left( \frac{x^{2}}{2 \pi} + \frac{x}{\pi} \right)}\right | _{- \pi}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2 \pi} + \frac{\pi}{\pi}- \frac{\left(- \pi\right)^{2}}{2 \pi} - \frac{- \pi}{\pi}=2$ \newline $a_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\cos nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\left( x + 1 \right)\cos{\left(n x \right)}dx}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}u=x + 1&du=dx\\v=-\frac{1}{\pi n}\sin{\left(n x \right)}&dv=\frac{1}{\pi}\cos{\left(n x \right)}dx\end{array}} \right| = \left. {-\frac{1}{\pi n}\left(x + 1\right) \sin{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi n}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\sin{\left(n x \right)}dx}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)} - \left(1 - \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}+\frac{1}{\pi n^{2}}\left. {\cos{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)} - \left(1 - \pi\right) \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n}=0$ \newline $b_{n} = \frac{1}{L}\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f\left( x \right)\sin nxdx} =\frac{1}{\pi}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\left( x + 1 \right)\sin{\left(n x \right)}dx}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}u=x + 1&du=dx\\v=-\frac{1}{\pi n}\cos{\left(n x \right)}&dv=\frac{1}{\pi}\sin{\left(n x \right)}dx\end{array}} \right| = \left. {-\frac{1}{\pi n}\left(x + 1\right) \cos{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi n}\int\limits_{- \pi}^{\pi} {\cos{\left(n x \right)}dx}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)} + \left(1 - \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}+\frac{1}{\pi n^{2}}\left. {\sin{\left(n x \right)}} \right|_{- \pi}^{\pi}=\frac{- \left(1 + \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)} + \left(1 - \pi\right) \cos{\left(\pi n \right)}}{\pi n} + \frac{2 \sin{\left(\pi n \right)}}{\pi n^{2}}=- \frac{2 \left(-1\right)^{n}}{n}$ \newline Таким образом, ряд Фурье: \newline $f\left( x \right) = 1+ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\left( - \frac{2 \left(-1\right)^{n}}{n} \right)}\sin nx}.$ \newline Сумма ряда Фурье в точках разрыва равна полусумме значений функции слева и справа. В остальных точках - значению функции. \newline $S\left( - \pi \right)=\frac{1 + \pi+\left( 1 - \pi \right)}{2}=1,\:S\left( \pi \right)=\frac{1 + \pi+\left( 1 - \pi \right)}{2}=1$ \newline \includegraphics{/home/math8/Math8_v/ExternalstorageMath8/cache/img/893498420715332inputtolatex.png}\newline