\[f\left({z}\right)=\frac{1}{z^{2} + 1}\]

Особые точки функции:

\[\left.1\right) \:z_{1}=- i\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{1}{z^{2} + 1}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right)\left({z + i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{z + i}{z^{2} + 1}=\frac{i}{2}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right){\left( z + i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \frac{z + i}{z^{2} + 1}=\frac{i}{2}\]

\[\left.2\right) \:z_{2}=i\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{1}{z^{2} + 1}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right)\left({z - i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{z - i}{z^{2} + 1}=- \frac{i}{2}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right){\left( z - i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{z - i}{z^{2} + 1}=- \frac{i}{2}\]

$f\left({z}\right)=\frac{1}{z^{2} + 1}$ \newline Особые точки функции: \newline $\left.1\right) \:z_{1}=- i$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{1}{z^{2} + 1}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right)\left({z + i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{z + i}{z^{2} + 1}=\frac{i}{2}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right){\left( z + i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \frac{z + i}{z^{2} + 1}=\frac{i}{2}$ \newline $\left.2\right) \:z_{2}=i$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{1}{z^{2} + 1}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right)\left({z - i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{z - i}{z^{2} + 1}=- \frac{i}{2}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right){\left( z - i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{z - i}{z^{2} + 1}=- \frac{i}{2}$