\[f\left({z}\right)=\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}\]

Особые точки функции:

\[\left.1\right) \:z_{1}=0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} f\left( z \right)z^{2} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\frac{1}{z \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} f\left( z \right)z^{3} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\frac{1}{z^{4} - 1}=-1} \ne \infty\]

Значит, это полюс 3-го порядка.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = 0} f\left( z \right) = \frac{1}{\left(3-1\right)!}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{d^{2}}{dz^{2}}\frac{1}{z^{4} - 1}=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left( - \frac{4 z^{3}}{\left(z^{4} - 1\right)^{2}} \right)=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{4 z^{2} \cdot \left(5 z^{4} + 3\right)}{\left(z^{4} - 1\right)^{3}}=0\]

\[\left.2\right) \:z_{2}=1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right)\left({z - 1}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} {\frac{z - 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = 1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right){\left( z - 1 \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{z - 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}\]

\[\left.3\right) \:z_{3}=i\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right)\left({z - i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{z - i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right){\left( z - i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{z - i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}\]

\[\left.4\right) \:z_{4}=- i\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right)\left({z + i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{z + i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right){\left( z + i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \frac{z + i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}\]

\[\left.5\right) \:z_{5}=-1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty\]

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right)\left({z + 1}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} {\frac{z + 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}} \ne \infty\]

Значит, это простой полюс.

Вычет:

\[\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = -1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right){\left( z + 1 \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} \frac{z + 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}\]

$f\left({z}\right)=\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}$ \newline Особые точки функции: \newline $\left.1\right) \:z_{1}=0$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} f\left( z \right)z^{2} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\frac{1}{z \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} f\left( z \right)z^{3} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {\frac{1}{z^{4} - 1}=-1} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{полюс 3-го порядка}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = 0} f\left( z \right) = \frac{1}{\left(3-1\right)!}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{d^{2}}{dz^{2}}\frac{1}{z^{4} - 1}=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left( - \frac{4 z^{3}}{\left(z^{4} - 1\right)^{2}} \right)=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{4 z^{2} \cdot \left(5 z^{4} + 3\right)}{\left(z^{4} - 1\right)^{3}}=0$ \newline $\left.2\right) \:z_{2}=1$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right)\left({z - 1}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} {\frac{z - 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = 1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} f\left( z \right){\left( z - 1 \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{z - 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}$ \newline $\left.3\right) \:z_{3}=i$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right)\left({z - i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} {\frac{z - i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} f\left( z \right){\left( z - i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to i} \frac{z - i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}$ \newline $\left.4\right) \:z_{4}=- i$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right)\left({z + i}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} {\frac{z + i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = - i} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} f\left( z \right){\left( z + i \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \frac{z + i}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=- \frac{1}{4}$ \newline $\left.5\right) \:z_{5}=-1$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} {\frac{1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}} = \infty$ \newline $\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right)\left({z + 1}\right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} {\frac{z + 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}} \ne \infty$ \newline Значит, это \textbf{простой полюс}. \newline Вычет: \newline $\mathop {{\mathop{\rm res}} }\limits_{z = -1} f\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to -1} f\left( z \right){\left( z + 1 \right)}=\mathop {\lim }\limits_{z \to -1} \frac{z + 1}{z^{3} \left(z^{4} - 1\right)}=\frac{1}{4}$