Треугольник \(PQR\) задан вершинами: \(P\left( 1;1 \right),\:Q\left( 2;2 \right),\:R\left( 3;1 \right)\)

Треугольник построен на векторах

\[\overline{PQ}=\left({2-1;\:2-1}\right)=\left( 1;1 \right)\]

\[\overline{PR}=\left({3-1;\:1-1}\right)=\left( 2;0 \right)\]

\[\overline{QR}=\left({3-2;\:1-2}\right)=\left( 1;-1 \right)\]

Уравнения сторон треугольника по двум точкам (их вершинам):

\[PQ: \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-1}{2-1}\Rightarrow \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}\]

\[PR: \frac{x-1}{3-1}=\frac{y-1}{1-1}\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{0}\]

\[QR: \frac{x-2}{3-2}=\frac{y-2}{1-2}\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\]

Углы при вершинах

\[\angle {P}=\arccos\frac{\overline{PQ} \cdot \overline{PR}}{\left|\overline{PQ}\right| \cdot \left|\overline{PR}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 2+1 \cdot 0}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+0^{2}}}}=\arccos{\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2}}=\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\pi}{4}\]

\[\angle {Q}=\arccos\frac{\overline{PQ} \cdot \overline{QR}}{\left|\overline{PQ}\right| \cdot \left|\overline{QR}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 1-1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+\left( -1 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}=\arccos{0}=\frac{\pi}{2}\]

\[\angle {R}=\arccos\frac{\overline{PR} \cdot \overline{QR}}{\left|\overline{PR}\right| \cdot \left|\overline{QR}\right|}=\arccos{\frac{2 \cdot 1+0 \cdot \left({-1}\right)}{\sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+\left( -1 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}}}=\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\pi}{4}\]

Длины сторон

\[\left| {PQ} \right|=\sqrt{\left({2-1}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}\]

\[\left| {PR} \right|=\sqrt{\left({3-1}\right)^2+\left({1-1}\right)^2}=2\]

\[\left| {QR} \right|=\sqrt{\left({3-2}\right)^2+\left({1-2}\right)^2}=\sqrt{2}\]

Уравнения высот

Пусть \(PH_1\) высота, проведённая из угла \(P\) к стороне \(QR\)

Найдём направляющий вектор этой высоты, как перпендикулярный к вектору \(\overline{QR}\):

\[\overline{PH_1} \bot \overline{QR}\Rightarrow \overline{PH_1} \cdot \overline{QR}=0\Rightarrow a-b=0 \Rightarrow \overline{PH_1}=\left( 1;1 \right)\]

Её уравнение: \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}\)

Аналогично, пусть \(QH_2\) высота, проведённая из угла \(Q\) к стороне \(PR\)

\[\overline{QH_2} \bot \overline{PR}\Rightarrow \overline{QH_2} \cdot \overline{PR}=0\Rightarrow 2c+0d=0 \Rightarrow \overline{QH_2}=\left( 0;1 \right)\Rightarrow \frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}\]

\(RH_3\) высота, проведённая из угла \(R\) к стороне \(PQ\)

\[\overline{RH_3} \bot \overline{PQ}\Rightarrow \overline{RH_3} \cdot \overline{PQ}=0\Rightarrow f+g=0 \Rightarrow \overline{RH_3}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}\]

Точка пересечения высот

Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника

\[\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}}\\{\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=1,\\y=1\end{array}} \right.\]

Длины высот

Найдём точки пересечения высот и сторон, к которым они проведены:

\[H_1:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=2\end{array}} \right.\]

\[\left| {PH_1} \right|=\sqrt{\left({2-1}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}\]

\[H_2:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}y=1,\\x=2\end{array}} \right.\]

\[\left| {QH_2} \right|=\sqrt{\left({1-2}\right)^2+\left({2-2}\right)^2}=1\]

\[H_3:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=2\end{array}} \right.\]

\[\left| {RH_3} \right|=\sqrt{\left({2-3}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}\]

Уравнения медиан

Середины отрезков

\[QR:\:x_{M_1}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2};y_{M_1}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow M_1\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)\]

\[PR:\:x_{M_2}=\frac{1+3}{2}=2;y_{M_2}=\frac{1+1}{2}=1\Rightarrow M_2\left( 2;1 \right)\]

\[PQ:\:x_{M_3}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2};y_{M_3}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow M_3\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)\]

Уравнения медиан

\[PM_1: \frac{x-1}{\frac{5}{2}-1}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-1}\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}\]

\[QM_2: \frac{x-2}{2-2}=\frac{y-2}{1-2}\Rightarrow \frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{-1}\]

\[RM_3: \frac{x-3}{\frac{3}{2}-3}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-1}\Rightarrow \frac{x-3}{- \frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}\]

Точка пересечения медиан

Медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде треугольника

\[\left\{\begin{array}{l} \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}\\\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{-1} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=\frac{4}{3}\end{array}} \right.\]

Длины медиан

\[\left| {PM_1} \right|=\sqrt{\left({\frac{5}{2}-1}\right)^2+\left({\frac{3}{2}-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\]

\[\left| {QM_2} \right|=\sqrt{\left({2-2}\right)^2+\left({1-2}\right)^2}=1\]

\[\left| {RM_3} \right|=\sqrt{\left({\frac{3}{2}-3}\right)^2+\left({\frac{3}{2}-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\]

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна \(S=\frac{1}{2}\left| {PQ} \right|\cdot \left| {RH_3} \right|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =1\)

Треугольник $PQR$ задан вершинами: $P\left( 1;1 \right),\:Q\left( 2;2 \right),\:R\left( 3;1 \right)$ \newline \textbf{Треугольник построен на векторах} \newline $\overline{PQ}=\left({2-1;\:2-1}\right)=\left( 1;1 \right)$ \newline $\overline{PR}=\left({3-1;\:1-1}\right)=\left( 2;0 \right)$ \newline $\overline{QR}=\left({3-2;\:1-2}\right)=\left( 1;-1 \right)$ \newline \textbf{Уравнения сторон треугольника по двум точкам (их вершинам):} \newline $PQ: \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-1}{2-1}\Rightarrow \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}$ \newline $PR: \frac{x-1}{3-1}=\frac{y-1}{1-1}\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{0}$ \newline $QR: \frac{x-2}{3-2}=\frac{y-2}{1-2}\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}$ \newline \textbf{Углы при вершинах} \newline $\angle {P}=\arccos\frac{\overline{PQ} \cdot \overline{PR}}{\left|\overline{PQ}\right| \cdot \left|\overline{PR}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 2+1 \cdot 0}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+0^{2}}}}=\arccos{\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2}}=\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\pi}{4}$ \newline $\angle {Q}=\arccos\frac{\overline{PQ} \cdot \overline{QR}}{\left|\overline{PQ}\right| \cdot \left|\overline{QR}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 1-1 \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+\left( -1 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}=\arccos{0}=\frac{\pi}{2}$ \newline $\angle {R}=\arccos\frac{\overline{PR} \cdot \overline{QR}}{\left|\overline{PR}\right| \cdot \left|\overline{QR}\right|}=\arccos{\frac{2 \cdot 1+0 \cdot \left({-1}\right)}{\sqrt{2^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+\left( -1 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}}}=\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\pi}{4}$ \newline \textbf{Длины сторон} \newline $\left| {PQ} \right|=\sqrt{\left({2-1}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline $\left| {PR} \right|=\sqrt{\left({3-1}\right)^2+\left({1-1}\right)^2}=2$ \newline $\left| {QR} \right|=\sqrt{\left({3-2}\right)^2+\left({1-2}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline \textbf{Уравнения высот} \newline Пусть $PH_1$ высота, проведённая из угла $P$ к стороне $QR$ \newline Найдём направляющий вектор этой высоты, как перпендикулярный к вектору $\overline{QR}$: \newline $\overline{PH_1} \bot \overline{QR}\Rightarrow \overline{PH_1} \cdot \overline{QR}=0\Rightarrow a-b=0 \Rightarrow \overline{PH_1}=\left( 1;1 \right)$ \newline Её уравнение: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}$ \newline Аналогично, пусть $QH_2$ высота, проведённая из угла $Q$ к стороне $PR$ \newline $\overline{QH_2} \bot \overline{PR}\Rightarrow \overline{QH_2} \cdot \overline{PR}=0\Rightarrow 2c+0d=0 \Rightarrow \overline{QH_2}=\left( 0;1 \right)\Rightarrow \frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}$ \newline $RH_3$ высота, проведённая из угла $R$ к стороне $PQ$ \newline $\overline{RH_3} \bot \overline{PQ}\Rightarrow \overline{RH_3} \cdot \overline{PQ}=0\Rightarrow f+g=0 \Rightarrow \overline{RH_3}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}$ \newline \textbf{Точка пересечения высот} \newline Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника \newline $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}}\\{\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=1,\\y=1\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Длины высот} \newline Найдём точки пересечения высот и сторон, к которым они проведены: \newline $H_1:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=2\end{array}} \right.$ \newline $\left| {PH_1} \right|=\sqrt{\left({2-1}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline $H_2:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}y=1,\\x=2\end{array}} \right.$ \newline $\left| {QH_2} \right|=\sqrt{\left({1-2}\right)^2+\left({2-2}\right)^2}=1$ \newline $H_3:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-1}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=2\end{array}} \right.$ \newline $\left| {RH_3} \right|=\sqrt{\left({2-3}\right)^2+\left({2-1}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline \textbf{Уравнения медиан} \newline Середины отрезков \newline $QR:\:x_{M_1}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2};y_{M_1}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow M_1\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)$ \newline $PR:\:x_{M_2}=\frac{1+3}{2}=2;y_{M_2}=\frac{1+1}{2}=1\Rightarrow M_2\left( 2;1 \right)$ \newline $PQ:\:x_{M_3}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2};y_{M_3}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow M_3\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$ \newline Уравнения медиан \newline $PM_1: \frac{x-1}{\frac{5}{2}-1}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-1}\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}$ \newline $QM_2: \frac{x-2}{2-2}=\frac{y-2}{1-2}\Rightarrow \frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{-1}$ \newline $RM_3: \frac{x-3}{\frac{3}{2}-3}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-1}\Rightarrow \frac{x-3}{- \frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}$ \newline \textbf{Точка пересечения медиан} \newline Медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде треугольника \newline $\left\{\begin{array}{l} \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{\frac{1}{2}}\\\frac{x-2}{0}=\frac{y-2}{-1} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=2,\\y=\frac{4}{3}\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Длины медиан} \newline $\left| {PM_1} \right|=\sqrt{\left({\frac{5}{2}-1}\right)^2+\left({\frac{3}{2}-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$ \newline $\left| {QM_2} \right|=\sqrt{\left({2-2}\right)^2+\left({1-2}\right)^2}=1$ \newline $\left| {RM_3} \right|=\sqrt{\left({\frac{3}{2}-3}\right)^2+\left({\frac{3}{2}-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$ \newline \textbf{Площадь треугольника} \newline Площадь треугольника равна $S=\frac{1}{2}\left| {PQ} \right|\cdot \left| {RH_3} \right|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =1$ \newline