Треугольник \(ABC\) задан уравнениями сторон: \(x - y + 2=0,\:- x - y - 4=0,\:2 x + y + 4=0\)

Найдём его вершины, решая совместно:

\[A:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x - y + 2=0,\\- x - y - 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.\]

\[B:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x - y + 2=0,\\2 x + y + 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-2,\\y=0\end{array}} \right.\]

\[C:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}- x - y - 4=0,\\2 x + y + 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=0,\\y=-4\end{array}} \right.\]

Треугольник построен на векторах

\[\overline{AB}=\left({-2-\left( -3 \right);\:0-\left( -1 \right)}\right)=\left( 1;1 \right)\]

\[\overline{AC}=\left({0-\left( -3 \right);\:-4-\left( -1 \right)}\right)=\left( 3;-3 \right)\]

\[\overline{BC}=\left({0-\left( -2 \right);\:-4-0}\right)=\left( 2;-4 \right)\]

Углы при вершинах

\[\angle {A}=\arccos\frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{\left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{AC}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 3-1 \cdot 3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}+\left( -3 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{0}{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}}=\arccos{0}=\frac{\pi}{2}\]

\[\angle {B}=\arccos\frac{\overline{AB} \cdot \overline{BC}}{\left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 2-1 \cdot 4}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+\left( -4 \right)^{2}}}}=\arccos{\left({-\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}}}\right)}=\arccos{\left({- \frac{\sqrt{10}}{10}}\right)}\]

\[\angle {C}=\arccos\frac{\overline{AC} \cdot \overline{BC}}{\left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right|}=\arccos{\frac{3 \cdot 2-3 \cdot \left({-4}\right)}{\sqrt{3^{2}+\left( -3 \right)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+\left( -4 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{18}{3 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}}}=\arccos{\frac{3 \sqrt{10}}{10}}\]

Длины сторон

\[\left| {AB} \right|=\sqrt{\left({-2-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({0-\left( -1 \right)}\right)^2}=\sqrt{2}\]

\[\left| {AC} \right|=\sqrt{\left({0-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({-4-\left( -1 \right)}\right)^2}=3 \sqrt{2}\]

\[\left| {BC} \right|=\sqrt{\left({0-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({-4-0}\right)^2}=2 \sqrt{5}\]

Уравнения высот

Пусть \(AH_1\) высота, проведённая из угла \(A\) к стороне \(BC\)

Найдём направляющий вектор этой высоты, как перпендикулярный к вектору \(\overline{BC}\):

\[\overline{AH_1} \bot \overline{BC}\Rightarrow \overline{AH_1} \cdot \overline{BC}=0\Rightarrow 2a-4b=0 \Rightarrow \overline{AH_1}=\left( 2;1 \right)\]

Её уравнение: \(\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}\)

Аналогично, пусть \(BH_2\) высота, проведённая из угла \(B\) к стороне \(AC\)

\[\overline{BH_2} \bot \overline{AC}\Rightarrow \overline{BH_2} \cdot \overline{AC}=0\Rightarrow 3c-3d=0 \Rightarrow \overline{BH_2}=\left( 1;1 \right)\Rightarrow \frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}\]

\(CH_3\) высота, проведённая из угла \(C\) к стороне \(AB\)

\[\overline{CH_3} \bot \overline{AB}\Rightarrow \overline{CH_3} \cdot \overline{AB}=0\Rightarrow f+g=0 \Rightarrow \overline{CH_3}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{y+4}{-1}\]

Точка пересечения высот

Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника

\[\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}}\\{\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.\]

Длины высот

Найдём точки пересечения высот и сторон, к которым они проведены:

\[H_1:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=- \frac{9}{5},\\y=- \frac{2}{5}\end{array}} \right.\]

\[\left| {AH_1} \right|=\sqrt{\left({- \frac{9}{5}-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({- \frac{2}{5}-\left( -1 \right)}\right)^2}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}\]

\[H_2:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.\]

\[\left| {BH_2} \right|=\sqrt{\left({-3-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({-1-0}\right)^2}=\sqrt{2}\]

\[H_3:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y+4}{-1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.\]

\[\left| {CH_3} \right|=\sqrt{\left({-3-0}\right)^2+\left({-1-\left( -4 \right)}\right)^2}=3 \sqrt{2}\]

Уравнения медиан

Середины отрезков

\[BC:\:x_{M_1}=\frac{-2+0}{2}=-1;y_{M_1}=\frac{0+\left( -4 \right)}{2}=-2\Rightarrow M_1\left( -1;-2 \right)\]

\[AC:\:x_{M_2}=\frac{-3+0}{2}=- \frac{3}{2};y_{M_2}=\frac{-1+\left( -4 \right)}{2}=- \frac{5}{2}\Rightarrow M_2\left( - \frac{3}{2};- \frac{5}{2} \right)\]

\[AB:\:x_{M_3}=\frac{-3+\left( -2 \right)}{2}=- \frac{5}{2};y_{M_3}=\frac{-1+0}{2}=- \frac{1}{2}\Rightarrow M_3\left( - \frac{5}{2};- \frac{1}{2} \right)\]

Уравнения медиан

\[AM_1: \frac{x-\left( -3 \right)}{-1-\left( -3 \right)}=\frac{y-\left( -1 \right)}{-2-\left( -1 \right)}\Rightarrow \frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{-1}\]

\[BM_2: \frac{x-\left( -2 \right)}{- \frac{3}{2}-\left( -2 \right)}=\frac{y-0}{- \frac{5}{2}-0}\Rightarrow \frac{x+2}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{- \frac{5}{2}}\]

\[CM_3: \frac{x-0}{- \frac{5}{2}-0}=\frac{y-\left( -4 \right)}{- \frac{1}{2}-\left( -4 \right)}\Rightarrow \frac{x}{- \frac{5}{2}}=\frac{y+4}{\frac{7}{2}}\]

Точка пересечения медиан

Медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде треугольника

\[\left\{\begin{array}{l} \frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{-1}\\\frac{x+2}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{- \frac{5}{2}} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=- \frac{5}{3},\\y=- \frac{5}{3}\end{array}} \right.\]

Длины медиан

\[\left| {AM_1} \right|=\sqrt{\left({-1-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({-2-\left( -1 \right)}\right)^2}=\sqrt{5}\]

\[\left| {BM_2} \right|=\sqrt{\left({- \frac{3}{2}-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({- \frac{5}{2}-0}\right)^2}=\frac{\sqrt{26}}{2}\]

\[\left| {CM_3} \right|=\sqrt{\left({- \frac{5}{2}-0}\right)^2+\left({- \frac{1}{2}-\left( -4 \right)}\right)^2}=\frac{\sqrt{74}}{2}\]

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна \(S=\frac{1}{2}\left| {AB} \right|\cdot \left| {CH_3} \right|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} =3\)

Треугольник $ABC$ задан уравнениями сторон: $x - y + 2=0,\:- x - y - 4=0,\:2 x + y + 4=0$ \newline Найдём его вершины, решая совместно: \newline $A:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x - y + 2=0,\\- x - y - 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.$ \newline $B:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x - y + 2=0,\\2 x + y + 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-2,\\y=0\end{array}} \right.$ \newline $C:\:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}- x - y - 4=0,\\2 x + y + 4=0\end{array}} \right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=0,\\y=-4\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Треугольник построен на векторах} \newline $\overline{AB}=\left({-2-\left( -3 \right);\:0-\left( -1 \right)}\right)=\left( 1;1 \right)$ \newline $\overline{AC}=\left({0-\left( -3 \right);\:-4-\left( -1 \right)}\right)=\left( 3;-3 \right)$ \newline $\overline{BC}=\left({0-\left( -2 \right);\:-4-0}\right)=\left( 2;-4 \right)$ \newline \textbf{Углы при вершинах} \newline $\angle {A}=\arccos\frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{\left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{AC}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 3-1 \cdot 3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}+\left( -3 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{0}{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}}=\arccos{0}=\frac{\pi}{2}$ \newline $\angle {B}=\arccos\frac{\overline{AB} \cdot \overline{BC}}{\left|\overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right|}=\arccos{\frac{1 \cdot 2-1 \cdot 4}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+\left( -4 \right)^{2}}}}=\arccos{\left({-\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}}}\right)}=\arccos{\left({- \frac{\sqrt{10}}{10}}\right)}$ \newline $\angle {C}=\arccos\frac{\overline{AC} \cdot \overline{BC}}{\left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right|}=\arccos{\frac{3 \cdot 2-3 \cdot \left({-4}\right)}{\sqrt{3^{2}+\left( -3 \right)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+\left( -4 \right)^{2}}}}=\arccos{\frac{18}{3 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}}}=\arccos{\frac{3 \sqrt{10}}{10}}$ \newline \textbf{Длины сторон} \newline $\left| {AB} \right|=\sqrt{\left({-2-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({0-\left( -1 \right)}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline $\left| {AC} \right|=\sqrt{\left({0-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({-4-\left( -1 \right)}\right)^2}=3 \sqrt{2}$ \newline $\left| {BC} \right|=\sqrt{\left({0-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({-4-0}\right)^2}=2 \sqrt{5}$ \newline \textbf{Уравнения высот} \newline Пусть $AH_1$ высота, проведённая из угла $A$ к стороне $BC$ \newline Найдём направляющий вектор этой высоты, как перпендикулярный к вектору $\overline{BC}$: \newline $\overline{AH_1} \bot \overline{BC}\Rightarrow \overline{AH_1} \cdot \overline{BC}=0\Rightarrow 2a-4b=0 \Rightarrow \overline{AH_1}=\left( 2;1 \right)$ \newline Её уравнение: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}$ \newline Аналогично, пусть $BH_2$ высота, проведённая из угла $B$ к стороне $AC$ \newline $\overline{BH_2} \bot \overline{AC}\Rightarrow \overline{BH_2} \cdot \overline{AC}=0\Rightarrow 3c-3d=0 \Rightarrow \overline{BH_2}=\left( 1;1 \right)\Rightarrow \frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}$ \newline $CH_3$ высота, проведённая из угла $C$ к стороне $AB$ \newline $\overline{CH_3} \bot \overline{AB}\Rightarrow \overline{CH_3} \cdot \overline{AB}=0\Rightarrow f+g=0 \Rightarrow \overline{CH_3}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{y+4}{-1}$ \newline \textbf{Точка пересечения высот} \newline Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника \newline $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}}\\{\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Длины высот} \newline Найдём точки пересечения высот и сторон, к которым они проведены: \newline $H_1:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=- \frac{9}{5},\\y=- \frac{2}{5}\end{array}} \right.$ \newline $\left| {AH_1} \right|=\sqrt{\left({- \frac{9}{5}-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({- \frac{2}{5}-\left( -1 \right)}\right)^2}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ \newline $H_2:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x+2}{1}=\frac{y}{1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.$ \newline $\left| {BH_2} \right|=\sqrt{\left({-3-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({-1-0}\right)^2}=\sqrt{2}$ \newline $H_3:\:\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y+4}{-1}\\\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-4}\end{array}\right. \Rightarrow\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=-3,\\y=-1\end{array}} \right.$ \newline $\left| {CH_3} \right|=\sqrt{\left({-3-0}\right)^2+\left({-1-\left( -4 \right)}\right)^2}=3 \sqrt{2}$ \newline \textbf{Уравнения медиан} \newline Середины отрезков \newline $BC:\:x_{M_1}=\frac{-2+0}{2}=-1;y_{M_1}=\frac{0+\left( -4 \right)}{2}=-2\Rightarrow M_1\left( -1;-2 \right)$ \newline $AC:\:x_{M_2}=\frac{-3+0}{2}=- \frac{3}{2};y_{M_2}=\frac{-1+\left( -4 \right)}{2}=- \frac{5}{2}\Rightarrow M_2\left( - \frac{3}{2};- \frac{5}{2} \right)$ \newline $AB:\:x_{M_3}=\frac{-3+\left( -2 \right)}{2}=- \frac{5}{2};y_{M_3}=\frac{-1+0}{2}=- \frac{1}{2}\Rightarrow M_3\left( - \frac{5}{2};- \frac{1}{2} \right)$ \newline Уравнения медиан \newline $AM_1: \frac{x-\left( -3 \right)}{-1-\left( -3 \right)}=\frac{y-\left( -1 \right)}{-2-\left( -1 \right)}\Rightarrow \frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{-1}$ \newline $BM_2: \frac{x-\left( -2 \right)}{- \frac{3}{2}-\left( -2 \right)}=\frac{y-0}{- \frac{5}{2}-0}\Rightarrow \frac{x+2}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{- \frac{5}{2}}$ \newline $CM_3: \frac{x-0}{- \frac{5}{2}-0}=\frac{y-\left( -4 \right)}{- \frac{1}{2}-\left( -4 \right)}\Rightarrow \frac{x}{- \frac{5}{2}}=\frac{y+4}{\frac{7}{2}}$ \newline \textbf{Точка пересечения медиан} \newline Медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде треугольника \newline $\left\{\begin{array}{l} \frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{-1}\\\frac{x+2}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{- \frac{5}{2}} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x=- \frac{5}{3},\\y=- \frac{5}{3}\end{array}} \right.$ \newline \textbf{Длины медиан} \newline $\left| {AM_1} \right|=\sqrt{\left({-1-\left( -3 \right)}\right)^2+\left({-2-\left( -1 \right)}\right)^2}=\sqrt{5}$ \newline $\left| {BM_2} \right|=\sqrt{\left({- \frac{3}{2}-\left( -2 \right)}\right)^2+\left({- \frac{5}{2}-0}\right)^2}=\frac{\sqrt{26}}{2}$ \newline $\left| {CM_3} \right|=\sqrt{\left({- \frac{5}{2}-0}\right)^2+\left({- \frac{1}{2}-\left( -4 \right)}\right)^2}=\frac{\sqrt{74}}{2}$ \newline \textbf{Площадь треугольника} \newline Площадь треугольника равна $S=\frac{1}{2}\left| {AB} \right|\cdot \left| {CH_3} \right|=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} =3$ \newline